Vektore in 2D — Graad 11 Fisika

Skalare vs Vektore

'n Skalaar het slegs grootte (bv. spoed, massa, temperatuur). 'n Vektor het sowel grootte as rigting (bv. krag, snelheid, verplasing, versnelling).

Vektore word in vetdruk geskryf (F) of met 'n pyltjie bo die simbool (F⃗). Die grootte word geskryf as |F| of eenvoudig F (skuinsdruk).

Rigtingkonvensies wat in CAPS gebruik word: Peiling vanaf die positiewe x-as (antikloksgewys gemeet), kompaspeiling (N/S/O/W), of hoek relatief tot 'n benoemde rigting aangedui (bv. 30° N van O).

'n Vektor in Komponente Ontbind

Enige vektor F teen hoek θ vanaf die positiewe x-as kan in loodregte komponente verdeel word:

Fx = F cosθ
Fy = F sinθ

Die komponente is skalare (kan positief of negatief wees). Teken altyd eers 'n skets om te bepaal in watter kwadrant θ val.

Wenk: cos hoort by die x-as; sin hoort by die y-as. Dit geld slegs wanneer θ vanaf die positiewe x-as gemeet word.

Vektore Bymekaartel met Komponente

Om veelvuldige vektore algebraïes bymekaar te tel:

Ontbind elke vektor in x- en y-komponente.
Tel al die x-komponente bymekaar: ΣFx
Tel al die y-komponente bymekaar: ΣFy
Vind die grootte van die resultant: R = √((ΣFx)² + (ΣFy)²)
Vind die rigting: θ = arctan(ΣFy / ΣFx) — pas dan aan vir die korrekte kwadrant.

R = √((ΣFx)² + (ΣFy)²)
θ = arctan(|ΣFy| / |ΣFx|) [pas kwadrant aan met die tekens van ΣFx en ΣFy]

Simbool	Betekenis	Eenheid
F	Grootte van kragvektor	N
Fx	x-komponent van krag	N
Fy	y-komponent van krag	N
R	Grootte van resultant	N
θ	Rigtinghoek vanaf positiewe x-as	°
ΣFx	Som van al die x-komponente	N
ΣFy	Som van al die y-komponente	N

Driehoek- en Parallelogramwette

Driehoekwet: Teken vektore kop-tot-stert (een na die ander). Die resultant is die vektor wat van die stert van die eerste na die kop van die laaste geteken word, en sluit die driehoek.

Parallelogramwet: Teken albei vektore vanaf dieselfde punt. Voltooi die parallelogram. Die resultant is die diagonaal vanaf die gemeenskaplike punt.

Skaaldiagramme: Kies 'n gepaste skaal (bv. 1 cm = 10 N), teken akkuraat met 'n liniaal en gradeboog, en meet die resultant. Vermeld die skaal wat gebruik is.

Ewewig en die Ewewigskrag

'n Voorwerp is in ewewig wanneer die netto krag daarop nul is. Vir 2D-probleme beteken dit:

ΣFx = 0 EN ΣFy = 0

'n Geslote vektordiagram (die kop van die laaste vektor ontmoet die stert van die eerste) dui op ewewig.

Die ewewigskrag is die enkele krag wat 'n stelsel in ewewig sou bring. Dit is gelyk in grootte maar teenoorgesteld in rigting aan die resultant.

Uitgewerkte Voorbeeld — Drie Kragte in 2D

Drie kragte werk op 'n voorwerp in: F₁ = 40 N teen 0°, F₂ = 30 N teen 90°, F₃ = 50 N teen 210°. Vind die resultant.

F₁x = 40cos0° = 40 N, F₁y = 40sin0° = 0 N
F₂x = 30cos90° = 0 N, F₂y = 30sin90° = 30 N
F₃x = 50cos210° = −43,3 N, F₃y = 50sin210° = −25 N

ΣFx = 40 + 0 − 43,3 = −3,3 N
ΣFy = 0 + 30 − 25 = 5 N

R = √(3,3² + 5²) = √(10,9 + 25) = √35,9 ≈ 5,99 N
θ = arctan(5/3,3) ≈ 56,6° bo die negatiewe x-as → ≈ 123,4° vanaf die positiewe x-as

IEB-Uitbreiding — Stelling van Lami

Wanneer drie saamlopende koplanêre kragte in ewewig is, stel die Stelling van Lami:

F₁/sinα = F₂/sinβ = F₃/sinγ

waar α, β, γ die hoeke teenoor elke krag is (d.w.s. die hoek tussen die ander twee kragte). Dit is 'n vinnige metode wanneer drie kragte by 'n punt ontmoet en in ewewig is — daar is geen behoefte om in komponente te ontbind nie.

IEB-Uitbreiding — Inleiding tot 3D-Komponente

In drie dimensies het 'n vektor drie onderling loodregte komponente: Fx, Fy, Fz. Die grootte is R = √(Fx² + Fy² + Fz²). Rigting word deur hoeke tot elke as aangedui. IEB kan inleidende probleme bied waar 'n krag in 'n vlak wat in 3D gekantel is, eers in horisontale en vertikale komponente ontbind moet word, en dan verder ontbind word.

Voorspel eers: Kan kragte van 3 N, 4 N en 5 N so gerangskik word dat die voorwerp in ewewig is? Toets dit dan: Gebruik 3 vektore met die ewewigstoets om dit te probeer.

Vektoroptelling-Speelarea

Modus

Vektor 1 ●

Grootte60 N

Hoek30°

Vektor 2 ●

Grootte40 N

Hoek120°

ΣFx

—N

ΣFy

—N

|R|

—N

θ van R

—°

Vraag 1 van 8

'n Krag van 50 N werk teen 37° bo die positiewe x-as in. Wat is sy x-komponent? (Gebruik cos 37° ≈ 0,80)

Vraag 2 van 8

Twee kragte werk op 'n voorwerp in: 30 N reg Oos en 40 N reg Noord. Wat is die grootte van die resultant?

Vraag 3 van 8

Die ewewigskrag van 'n resulterende krag van 80 N teen 45° NO is:

Vraag 4 van 8

'n Vektordiagram vorm 'n geslote veelhoek. Dit beteken die voorwerp is in:

Vraag 5 van 8

ΣFx = −20 N en ΣFy = 20 N. In watter kwadrant lê die resultant?

Vraag 6 van 8

'n Krag van 100 N is gerig teen 'n kompaspeiling van 30° Oos van Noord (d.w.s. 'n peiling van 060°). Sy noordwaartse komponent is naaste aan:

Vraag 7 van 8

Twee kragte werk op 'n voorwerp in: F₁ = 60 N teen 0° en F₂ = 45 N teen 90°. Wat is die grootte van die derde krag, F₃, wat bygevoeg moet word sodat die voorwerp in ewewig is?

Vraag 8 van 8

'n Boot kan teen 4 m·s⁻¹ in stil water beweeg en word direk oor 'n rivier gestuur (d.w.s. sy koers is loodreg op die oewers). Die rivierstroom vloei teen 3 m·s⁻¹, parallel aan die oewers. Bereken die grootte van die boot se resulterende snelheid relatief tot die grond ('n waarnemer wat op die oewer staan).

IEB-Uitgebreide Vrae

IEB-Vraag 1

Drie saamlopende kragte is in ewewig. Krag A = 60 N, Krag B = 80 N, en die hoek tussen A en B is 90°. Deur die Stelling van Lami te gebruik, is die grootte van Krag C naaste aan:

IEB-Vraag 2

Vir drie saamlopende kragte in ewewig, stel die Stelling van Lami dat elke krag gedeel deur die sinus van die hoek teenoor dit, konstant is. Watter hoek is "teenoor" 'n krag?

Beantwoord alle vrae met die komponent-metode, tensy 'n skaaldiagram spesifiek versoek word. Wys alle berekeninge, insluitend formules, vervanging en eenhede.

Vraag 1 — Skaaldiagram (6 punte)

Twee kragte werk op 'n bout in: 45 N teen 0° (Oos) en 35 N teen 60° (NO). Gebruik 'n skaal van 1 cm = 5 N en konstrueer 'n skaaldiagram met die driehoekwet. Meet en gee aan (a) die grootte van die resultant en (b) die rigting van die resultant as 'n hoek gemeet vanaf Oos.

Vraag 2 — Komponent-metode (8 punte)

Drie kragte werk op 'n voorwerp in: F₁ = 80 N teen 0°, F₂ = 60 N teen 135°, F₃ = 50 N teen 270°. (a) Ontbind elke krag in x- en y-komponente. (b) Bereken ΣFx en ΣFy. (c) Vind die grootte van die resultant. (d) Vind die rigting van die resultant (hoek vanaf die positiewe x-as, korrek aangepas vir kwadrant).

Vraag 3 — Ewewigskrag (5 punte)

'n Hangende bord word deur twee kabels op sy plek gehou. Kabel 1 oefen 200 N teen 120° vanaf die positiewe x-as uit; Kabel 2 oefen 200 N teen 60° uit. (a) Wys dat hierdie twee kragte en die gewig van die bord 'n geslote driehoek vorm (ewewig). (b) Bereken die gewig van die bord.

Vraag 4 — Peilingprobleem (7 punte)

'n Skip reis 50 km teen 'n peiling van 030° (N30°O), dan 80 km teen 'n peiling van 150° (S30°O). Gebruik die komponent-metode om (a) die totale verplasing (grootte) en (b) die peiling van die finale posisie vanaf die beginpunt te vind.

Vraag 5 — Ewewigsontwerp (4 punte)

'n Voorwerp met 'n gewig van 120 N word deur twee kragte F₁ en F₂ ondersteun. F₁ is horisontaal (0°). F₂ werk teen 30° bo die horisontaal in. Vir die stelsel om in ewewig te wees: (a) skryf die twee ewewigsvergelykings neer (ΣFx = 0 en ΣFy = 0). (b) Los op vir F₁ en F₂.

Vraag 6 — Vier Kabels op 'n Ring (6 punte)

Vier kabels trek aan 'n metaalring, elk teen 'n verskillende hoek antikloksgewys gemeet vanaf die positiewe x-as:

Kabel	Krag (N)	Hoek (° vanaf +x-as)
A	100	0°
B	80	90°
C	60	200°
D	40	300°

(a) Kopieer die tabel en bereken die x-komponent en y-komponent van elke kabel se krag (tot 2 desimale plekke). (4 punte)
(b) Bereken ΣFx en ΣFy, en dus die grootte van die resulterende krag op die ring. (2 punte)