Vertikale Projektielbeweging — Graad 12 Fisika

Bewegingsvergelykings onder Swaartekrag

Wanneer 'n voorwerp slegs onder swaartekrag vertikaal beweeg (lugweerstand geïgnoreer), is dit in vrye val. Die enigste versnelling wat inwerk, is die swaartekragversnelling g = 9,8 m·s⁻² afwaarts gerig.

Deur opwaarts as positief te neem, vervang ons a = −9,8 m·s⁻² in die standaard bewegingsvergelykings:

v_f = v_i + aΔt
Δy = v_iΔt + ½aΔt²
v_f² = v_i² + 2aΔy

Simbool	Betekenis	Eenheid
v_i	Aanvangsnelheid	m·s⁻¹
v_f	Finale snelheid	m·s⁻¹
Δy	Verplasing (vertikaal)	m
a	Versnelling (= −9,8 m·s⁻²)	m·s⁻²
Δt	Tydinterval	s

Tekenkonvensie

Die mees algemene keuse in vertikale-projektiel-probleme is:

Opwaarts = positiewe rigting
Afwaarts = negatiewe rigting
Daarom a = −9,8 m·s⁻² (versnelling is altyd afwaarts)

Jy mag afwaarts as positief kies — maar wees deurgaans konsekwent. In alle CAPS-voorbeelde word opwaarts as positief geneem, tensy anders aangedui.

Voorwerp Opwaarts Gegooi

Wanneer 'n voorwerp opwaarts gegooi word met aanvangsnelheid v_i > 0:

Dit vertraag teen 9,8 m·s⁻² (swaartekrag werk teen die beweging in)
By die hoogste punt is v_f = 0 (vir 'n oomblik stil)
Dit val dan terug, en versnel teen 9,8 m·s⁻² afwaarts
As dit na dieselfde vlak terugkeer, is sy spoed op daardie punt gelyk aan v_i (deur simmetrie)

Maksimum hoogte: v_f² = v_i² + 2aΔy → 0 = v_i² − 2(9,8)Δy_maks
Δy_maks = v_i² / (2 × 9,8)

Vrye Val uit Rus

'n Voorwerp wat uit rus vrygestel word, het v_i = 0. Deur afwaarts as positief te neem (a = +9,8 m·s⁻²):

Δy = ½gΔt² (afstand geval vanuit rus)
v_f = gΔt (spoed na tyd t)

Of deur opwaarts as positief te gebruik met a = −9,8 m·s⁻²: Δy is negatief (verplasing is afwaarts).

Voorwerpe wat van 'n Hoogte Laat Val Word / Afwaarts Gegooi Word

As dit afwaarts gegooi word: v_i is negatief (met die opwaarts-positief-konvensie). Die voorwerp versnel verder afwaarts.

Strategie vir alle probleme:
1. Definieer 'n positiewe rigting (gewoonlik op).
2. Skryf bekende waardes neer — ken korrekte tekens toe.
3. Identifiseer die onbekende.
4. Kies die vergelyking wat slegs een onbekende bevat.
5. Vervang en los op. Kontroleer die teken van die antwoord vir rigting.

Vlugtyd en Snelheid met Impak

Vir 'n voorwerp wat opwaarts vanaf die grond gegooi word en op dieselfde vlak land:

Totale vlugtyd: Δt_totaal = 2v_i / 9.8
Spoed met impak = v_i (deur simmetrie is die spoed afwaarts gelyk aan die spoed opwaarts by dieselfde hoogte)

Snelheid-Tyd-Grafiek vir Vertikale Projektiel

Die v-t-grafiek vir 'n voorwerp in vrye val is altyd 'n reguit lyn met gradiënt = a = −9,8 m·s⁻².

Voorwerp opwaarts gegooi: begin by +v_i, neem lineêr af tot 0 by maksimum hoogte, gaan voort na negatiewe waardes soos dit val
Wanneer v = 0: maksimum hoogte bereik
Die oppervlakte onder die v-t-grafiek gee die verplasing (Δy)
Die gradiënt by enige punt = −9,8 m·s⁻² (deurgaans konstant)

Die gradiënt van 'n v-t-grafiek = versnelling. Vir vrye val is gradiënt = −9,8 m·s⁻² (met opwaarts as positief).

Uitgewerkte Voorbeeld 1 — Bal Opwaarts Gegooi

Probleem: 'n Bal word vanaf die grond teen 20 m·s⁻¹ opwaarts gegooi. Bereken: (a) maksimum hoogte, (b) tyd om maksimum hoogte te bereik, (c) totale vlugtyd, (d) spoed wanneer dit na die grond terugkeer.

Gegee: v_i = +20 m·s⁻¹, a = −9,8 m·s⁻², by maksimum hoogte v_f = 0

(a) v_f² = v_i² + 2aΔy → 0 = 400 + 2(−9,8)Δy → Δy = 400/19,6 = 20,4 m
(b) v_f = v_i + aΔt → 0 = 20 + (−9,8)Δt → Δt = 20/9,8 = 2,04 s
(c) Deur simmetrie: totale tyd = 2 × 2,04 = 4,08 s
(d) Deur simmetrie: spoed by die grond = 20 m·s⁻¹ (afwaarts, dus v_f = −20 m·s⁻¹)

Uitgewerkte Voorbeeld 2 — Laat Val vanaf 'n Hoogte

Probleem: 'n Klip word van 'n brug 45 m bo 'n rivier laat val. Hoe lank neem dit om die water te tref en wat is sy spoed met impak?

Konvensie: Af = positief, dus a = +9,8 m·s⁻², v_i = 0, Δy = +45 m

Tyd: Δy = v_iΔt + ½aΔt² → 45 = 0 + ½(9,8)Δt² → Δt² = 9,18 → Δt = 3,03 s
Spoed: v_f = v_i + aΔt = 0 + 9,8 × 3,03 = 29,7 m·s⁻¹

IEB-uitbreiding — Nie-eenvormige Velde en Multi-stadium-probleme

IEB-vraestelle sluit dikwels multi-stadium-probleme in waar 'n voorwerp gelanseer word, 'n hoogte bereik, en dan deur 'n tweede krag geraak word of op 'n ander vlak land. Hanteer elke stadium afsonderlik:

Gebruik die finale toestande van een stadium as die aanvangstoestande van die volgende
Vertraagde lanserings: twee voorwerpe op verskillende tye gelanseer — stel vergelykings vir albei op en los gelyktydig op
Voorwerpe wat bo/onder die lanseerpunt land: Δy ≠ 0 wanneer die kwadratiese vergelyking gebruik word

Δy = v_iΔt + ½aΔt² → kwadraties in Δt → gebruik die kwadratiese formule

Vir vertraagde lanserings: as voorwerp A t₀ sekondes voor voorwerp B gelanseer word, is voorwerp A vir (t + t₀) in die lug terwyl voorwerp B vir t sekondes in die lug is op dieselfde kloktyd. Stel hul posisies gelyk om te vind wanneer/waar hulle ontmoet.

Voorspel eers: 'n Bal wat van 20 m laat val word en een wat van 20 m afgegooi word: watter een land eerste, en versnel hulle verskillend? Toets dit dan: Probeer Laat val en dan Gooi af van 20 m en vergelyk die tyd en trefsnelheid.

Vertikale Projektiel-simulator

Lanseerbeheer

Aanvangsnelheid 15 m·s⁻¹

Beginhoogte 0 m

Intydse lesings

Hoogte

0.0m

Snelheid

0.0m·s⁻¹

Tyd

0.0s

Vraag 1 van 8

'n Bal word opwaarts gegooi met aanvangsnelheid 14,7 m·s⁻¹. Deur g = 9,8 m·s⁻² te gebruik, is die maksimum hoogte wat bereik word:

Vraag 2 van 8

'n Klip word uit rus laat val. Na 3 s van vrye val, is sy spoed (g = 9,8 m·s⁻²):

Vraag 3 van 8

Die gradiënt van 'n snelheid-tyd-grafiek vir 'n voorwerp in vertikale vrye val (op = positief) is:

Vraag 4 van 8

'n Bal word opwaarts gegooi en keer na sy beginpunt terug. Watter stelling is korrek?

Vraag 5 van 8

'n Voorwerp word afwaarts teen 5 m·s⁻¹ gegooi vanaf 'n hoogte van 20 m. Deur af as positief te neem (g = 9,8 m·s⁻²), watter vergelyking gee die korrekte tyd om die grond te tref?

Vraag 6 van 8

'n Bal wat opwaarts gegooi word, neem 4 s om sy maksimum hoogte te bereik. Die aanvangsnelheid van die bal was (g = 9,8 m·s⁻²):

Vraag 7 van 8

'n Bal word opwaarts teen 15 m·s⁻¹ gegooi vanaf die rand van 'n krans, 20 m bo die grond daaronder. Deur g = 9,8 m·s⁻² te gebruik en op as positief te neem, wat is die bal se snelheid net voordat dit die grond tref?

Vraag 8 van 8

Bal X word opwaarts teen 10 m·s⁻¹ gegooi, en Bal Y word opwaarts teen 20 m·s⁻¹ gegooi (dubbel X se spoed), albei vanaf die grond op presies dieselfde oomblik. Watter stelling vergelyk hul beweging korrek?

IEB-Uitgebreide Vrae

IEB-Vraag 1

Bal A word opwaarts teen 20 m·s⁻¹ vanaf die grond gegooi. Bal B word uit rus laat val vanaf 'n hoogte van 30 m op presies dieselfde oomblik. By watter hoogte bo die grond ontmoet hulle mekaar? (g = 9,8 m·s⁻², neem op as positief)

Definieer altyd eers 'n positiewe rigting. Wys alle formules, vervangings, eenhede, en die rigting van vektorgroothede. Gebruik g = 9,8 m·s⁻² tensy anders aangedui.

Vraag 1 — Bal Opwaarts Gegooi (7 punte)

'n Krieketbal word vanaf die grond vertikaal opwaarts gegooi met 'n aanvangsnelheid van 25 m·s⁻¹. (a) Definieer 'n positiewe rigting. (b) Bereken die maksimum hoogte wat die bal bereik. (c) Bereken die tyd wat dit neem om maksimum hoogte te bereik. (d) Bereken die totale vlugtyd. (e) Skets 'n v-t-grafiek vir die hele vlug, en merk asse en sleutelwaardes.

Vraag 2 — Voorwerp uit Rus Laat Val (6 punte)

'n Student laat 'n bal val van die bopunt van 'n gebou 80 m bo die grond. (a) Gee die aanvangsnelheid van die bal aan. (b) Bereken die tyd wat dit neem om die grond te bereik. (c) Bereken die spoed van die bal net voordat dit die grond tref. (d) Bereken die afstand wat die bal in die eerste 2 s val. (e) Watter fraksie van die totale hoogte het die bal na 2 s geval?

Vraag 3 — Twee-fase-probleem (8 punte)

'n Bal word opwaarts teen 18 m·s⁻¹ gegooi vanaf die rand van 'n krans wat 30 m bo die grond is. Neem opwaarts as positief. (a) Bereken die maksimum hoogte bo die kransrand. (b) Bereken die tyd vir die bal om na die vlak van die kransrand terug te keer. (c) Bereken die totale verplasing van die bal wanneer dit die grond (onder) tref. (d) Stel die vergelyking op en los dit op om die totale tyd van lansering tot die grond te vind. (e) Bereken die spoed van die bal met impak op die grond.

Vraag 4 — v-t-Grafiekontleding (5 punte)

'n v-t-grafiek vir 'n vertikaal geprojekteerde bal toon: die bal begin by v = +30 m·s⁻¹, kruis die tyd-as by t = 3,06 s, en gaan voort na negatiewe waardes. (a) Wat beteken dit wanneer die snelheid op hierdie grafiek negatief is? (b) Bereken die versnelling van die bal deur die grafiek te gebruik. (c) Bereken die maksimum hoogte bereik. (d) Bereken die verplasing van t = 0 tot t = 5 s. (e) Skets, op dieselfde asse, die v-t-grafiek as die bal eerder afwaarts teen 10 m·s⁻¹ gegooi is.

Vraag 5 — Snelheidsdata Lees (7 punte)

'n Bal word vertikaal opwaarts gegooi teen 20 m·s⁻¹ (op = positief). Sy snelheid is by 1-sekonde-intervalle gemeet:

Tyd t (s)	0	1	2	3	4
Snelheid v (m·s−1)	20.0	10.2	0.4	−9,4	−19,2

(a) Gebruik enige twee rye van die tabel om die versnelling wat deur hierdie data getoon word, te bereken. Stem dit ooreen met die versnelling weens swaartekrag?
(b) Tussen watter twee gelyste tye bereik die bal sy maksimum hoogte? Verduidelik hoe jy dit direk uit die tabel kan aflei, sonder om verdere berekeninge te doen.
(c) Deur lineêre interpolasie tussen daardie twee rye te gebruik (nie die kinematika-vergelykings direk nie), beraam die presiese tyd waarby v = 0.
(d) Gebruik jou antwoord op (c) om die maksimum hoogte wat die bal bereik, te bereken.